Java数据结构与算法_13 常用算法（贪心算法-集合覆盖问题、普利姆算法-修路问题、克鲁斯卡尔算法-公交站问题、迪杰斯特拉+弗洛伊德算法-最短路径问题、马踏棋盘算法）
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Java数据结构与算法_13 常用算法
本人是个新手，写下博客用于自我复习、自我总结。 如有错误之处，请各位大佬指出。 学习资料来源于：尚硅谷
贪心算法
贪心算法介绍
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贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时，在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择，从而希望结果是最好或者最优的算法
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贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果
应用-集合覆盖
假设存在如下表的需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。 如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号
如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢？假如真的使用穷举法实现，假设总共有n个广播台，列出所有可能的广播台的集合，则广播台的组合总共有2ⁿ -1 个。假设每秒可以计算10个子集：
显然数量很大，效率会很低。 思路分析：
目前并没有算法可以快速计算得到准确的值，但使用贪婪算法，则可以得到非常接近的解，并且效率高。选择策略上，因为需要覆盖全部地区的最小集合:
- 遍历所有的广播电台，找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区，但没有关系）
- 将这个电台加入到一个集合中(比如ArrayList)，想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。
- 重复第1步直到覆盖了全部的地区
贪心算法注意事项和细节
- 贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果
- 比如上题的算法选出的是K1, K2, K3, K5，符合覆盖了全部的地区
- 但是我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区，如果K2 的使用成本低于K1,那么我们上题的 K1, K2, K3, K5 虽然是满足条件，但是并不是最优的.
完整代码
import java.util.ArrayList;import java.util.HashMap;import java.util.HashSet;public class GreedyAlgorithm { public static void main(String[] args) { // 创建广播电台,放入到Map HashMap > broadcasts = new HashMap >(); // 将各个电台放入到broadcasts HashSet hashSet1 = new HashSet (); hashSet1.add("北京"); hashSet1.add("上海"); hashSet1.add("天津"); HashSet hashSet2 = new HashSet (); hashSet2.add("广州"); hashSet2.add("北京"); hashSet2.add("深圳"); HashSet hashSet3 = new HashSet (); hashSet3.add("成都"); hashSet3.add("上海"); hashSet3.add("杭州"); HashSet hashSet4 = new HashSet (); hashSet4.add("上海"); hashSet4.add("天津"); HashSet hashSet5 = new HashSet (); hashSet5.add("杭州"); hashSet5.add("大连"); // 加入到map broadcasts.put("K1", hashSet1); broadcasts.put("K2", hashSet2); broadcasts.put("K3", hashSet3); broadcasts.put("K4", hashSet4); broadcasts.put("K5", hashSet5); // allAreas 存放所有的地区 HashSet allAreas = new HashSet (); allAreas.add("北京"); allAreas.add("上海"); allAreas.add("天津"); allAreas.add("广州"); allAreas.add("深圳"); allAreas.add("成都"); allAreas.add("杭州"); allAreas.add("大连"); // 创建ArrayList, 存放选择的电台集合 ArrayList selects = new ArrayList (); // 定义一个临时的集合，在遍历的过程中，存放遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖的地区的交集 HashSet tempSet = new HashSet (); // 定义个maxKey，保存在一次遍历过程中，能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key // 如果maxKey 不为null , 则会加入到 selects String maxKey = null; while (allAreas.size() != 0) { // 如果allAreas 不为0, 则表示还没有覆盖到所有的地区 // 每进行一次while,都需要重置 maxKey = null; // 遍历 broadcasts, 取出对应key for (String key : broadcasts.keySet()) { // 每进行一次for，都需要重置 tempSet.clear(); // 当前这个key能够覆盖的地区 HashSet areas = broadcasts.get(key); tempSet.addAll(areas); // 求出tempSet 和 allAreas 集合的交集, 交集会赋给 tempSet tempSet.retainAll(allAreas); // 如果当前这个集合包含的未覆盖地区的数量，比maxKey指向的集合地区还多 // 就需要重置maxKey if (tempSet.size() > 0 && (maxKey == null || tempSet.size() > broadcasts.get( maxKey).size())) { maxKey = key; } } // maxKey != null, 就将maxKey 加入selects if (maxKey != null) { selects.add(maxKey); // 将maxKey指向的广播电台覆盖的地区，从 allAreas 去掉 allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey)); }else{ System.out.println("没有办法将所有地区覆盖"); break; } } System.out.println("得到的选择结果是" + selects);// [K1,K2,K3,K5] }} 最小生成树相关概念
在进行接下来的算法前，先看最小生成树的概念。
最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。
简单来说，给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小。
它有以下特点：
- N个顶点，一定有N-1条边
- 它一定会包含全部顶点
- N-1条边都在图中
而求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
普里姆算法
普里姆算法介绍
普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。
普利姆的算法如下：
- 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
- 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
- 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路。将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1。
- 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过。此时D中有n-1条边
应用-修路问题
- 假如某乡里有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
- 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
思路分析：
根据上面提到的普利姆算法的文字描述，简单来说就是，现在找一个顶点（假如是A）。那么从A开始处理，找与它相连的权值最小的边。可以看出是A-G。把G点加入后，接下来找与A点和G点相连的权值最小的边，是G-B。之后每加入一个顶点就再次判断，同时需要注意看是否形成回路。
具体步骤：
- 从< A >顶点开始处理 所有的边：A-C [7] A-G[2] A-B[5] 选择A-G
- <A,G> 开始 , 将A 和 G 顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 所有的边：A-C[7] A-B[5] G-B[3] G-E[4] G-F[6] 选择G-B
- <A,G,B> 开始，将A,G,B 顶点 和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 所有的边：A-C[7] G-E[4] G-F[6] B-D[9] 选择G-E …
- {A,G,B,E}->F//第4次大循环 ， 对应 边<E,F> 权值：5
- {A,G,B,E,F}->D//第5次大循环 ， 对应 边<F,D> 权值：4
- {A,G,B,E,F,D}->C//第6次大循环 ， 对应 边<A,C> 权值：7
完整代码
import java.util.Arrays;public class PrimAlgorithm { public static void main(String[] args) { // 测试看看图是否创建ok char[] data = new char[] { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; int verxs = data.length; // 邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000用来表示两个点不联通 int[][] weight = new int[][] { { 10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2 }, { 5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3 }, { 7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000 }, { 10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000 }, { 10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4 }, { 10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6 }, { 2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000 }, }; // 创建MGraph对象 MGraph graph = new MGraph(verxs); // 创建一个MinTree对象 MinTree minTree = new MinTree(); minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight); // 输出 minTree.showGraph(graph); // 测试 minTree.prim(graph, 1); }}// 创建最小生成树->村庄的图class MinTree { // 创建图的邻接矩阵 /** * @param graph * 图对象 * @param verxs * 图对应的顶点个数 * @param data * 图的各个顶点的值 * @param weight * 图的邻接矩阵 */ public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) { int i, j; for (i = 0; i < verxs; i++) { // 顶点 graph.data[i] = data[i]; for (j = 0; j < verxs; j++) { graph.weight[i][j] = weight[i][j]; } } } // 显示图的邻接矩阵 public void showGraph(MGraph graph) { for (int[] link : graph.weight) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } // 编写prim算法，得到最小生成树 /** * @param graph * 图 * @param v * 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1... */ public void prim(MGraph graph, int v) { // visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过 int visited[] = new int[graph.verxs]; // visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过 // 把当前这个结点标记为已访问 visited[v] = 1; // h1 和 h2 记录两个顶点的下标 int h1 = -1; int h2 = -1; int minWeight = 10000; // 将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换 for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { // 因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有graph.verxs-1边 // 这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近 for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i结点表示被访问过的结点 for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j结点表示还没有访问过的结点 if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) { // 替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边) minWeight = graph.weight[i][j]; h1 = i; h2 = j; } } } // 找到一条边是最小 System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight); // 将当前这个结点标记为已经访问 visited[h2] = 1; // minWeight 重新设置为最大值 10000 minWeight = 10000; } }}class MGraph { int verxs; // 表示图的节点个数 char[] data;// 存放结点数据 int[][] weight; // 存放边，就是我们的邻接矩阵 public MGraph(int verxs) { this.verxs = verxs; data = new char[verxs]; weight = new int[verxs][verxs]; }} 克鲁斯卡尔算法
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想： 按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
具体做法： 首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止应用-公交站问题
- 某市有7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
- 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
思路分析：
假设，用数组R保存最小生成树结果。
第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。此时，最小生成树构造完成。它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
克鲁斯卡尔和普里姆的区别也就可以看出来了。普里姆算法是从顶点出发，不断寻找相连边的最小权值。而克鲁斯卡尔算法是直接从所有边中找权值最小的。
也正是因为上面的这个区别，导致在普里姆中使用的判断是否形成回路的方法，在克鲁斯卡尔中就不能使用了。就比如第三步，把<D,E>加入R中，如果用普里姆的方法，D和E都被访问过，这条边是不能使用的。
其实这很好理解，普里姆算法每次都会找相邻的节点，它永远都是一棵树。但是克鲁斯卡尔不会，它可能会形成多棵树。
克鲁斯卡尔中判断是否形成回路的方法：
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点： C的终点是F D的终点是F E的终点是F F的终点是F 关于终点的说明：
就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后，某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。
完整代码
import java.util.Arrays;public class KruskalCase { private int edgeNum; //边的个数 private char[] vertexs; //顶点数组 private int[][] matrix; //邻接矩阵 //使用 INF 表示两个顶点不能连通 private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; public static void main(String[] args) { char[] vertexs = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵 int matrix[][] = { /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/ /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14}, /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF}, /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF}, /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF}, /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8}, /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9}, /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}}; //创建对象实例 KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix); //kruskalCase.print(); //测试 kruskalCase.kruskal(); } //构造器 public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) { //初始化顶点数和边的个数 int vlen = vertexs.length; //初始化顶点 this.vertexs = new char[vlen]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { this.vertexs[i] = vertexs[i]; } //初始化边 this.matrix = new int[vlen][vlen]; for(int i = 0; i < vlen; i++) { for(int j = 0; j < vlen; j++) { this.matrix[i][j] = matrix[i][j]; } } //统计边的条数 for(int i = 0; i < vlen; i++) { for(int j = i + 1; j < vlen; j++) { if(this.matrix[i][j] != INF) { edgeNum++; } } } } public void kruskal() { int index = 0; //表示最后结果数组的索引 int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点 //创建结果数组, 保存最后的最小生成树 EData[] rets = new EData[edgeNum]; //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边 EData[] edges = getEdges(); System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges)); System.out.println("总共"+edges.length+"条边"); //按照边的权值大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges); //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入 for(int i = 0; i < edgeNum; i++) { //获取到第i条边的第一个顶点(起点) int p1 = getPosition(edges[i].start); //获取到第i条边的第二个顶点 int p2 = getPosition(edges[i].end); //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点 int m = getEnd(ends, p1); //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点 int n = getEnd(ends, p2); //是否构成回路 if(m != n) { //没有构成回路 ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组 } } //统计并打印 "最小生成树", 输出 rets System.out.println("最小生成树为"); for(int i = 0; i < index; i++) { System.out.println(rets[i]); } } //打印邻接矩阵 public void print() { System.out.println("邻接矩阵为: \n"); for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j = 0; j < vertexs.length; j++) { System.out.printf("%12d", matrix[i][j]); } System.out.println();//换行 } } /** * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序 * @param edges 边的集合 */ private void sortEdges(EData[] edges) { for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) { for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) { if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) { //交换 EData tmp = edges[j]; edges[j] = edges[j+1]; edges[j+1] = tmp; } } } } /** * @param ch 顶点的值，比如'A','B' * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1 */ private int getPosition(char ch) { for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { if(vertexs[i] == ch) { //找到 return i; } } //找不到,返回-1 return -1; } /** * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....] * @return */ private EData[] getEdges() { int index = 0; EData[] edges = new EData[edgeNum]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) { if(matrix[i][j] != INF) { edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]); } } } return edges; } /** * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标 */ private int getEnd(int[] ends, int i) { while(ends[i] != 0) { i = ends[i]; } return i; } }//创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边class EData { char start; //边的一个点 char end; //边的另外一个点 int weight; //边的权值 //构造器 public EData(char start, char end, int weight) { this.start = start; this.end = end; this.weight = weight; } //重写toString, 便于输出边信息 @Override public String toString() { return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]"; } } 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程
设置出发顶点为v，顶点集合V{v1,v2,vi…}，v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis{d1,d2,di…}，Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0，v到vi距离对应为di)
- 从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径
- 更新Dis集合，更新规则为：比较v到V集合中顶点的距离值，与v通过vi到V集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi，表明是通过vi到达的)
- 重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束
应用-最短路径
- 战争时期，某乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
- 问：如何计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?
完整代码
import java.util.Arrays;public class DijkstraAlgorithm { public static void main(String[] args) { char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; // 邻接矩阵 int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length]; final int N = 65535;// 表示不可以连接 matrix[0] = new int[] { N, 5, 7, N, N, N, 2 }; matrix[1] = new int[] { 5, N, N, 9, N, N, 3 }; matrix[2] = new int[] { 7, N, N, N, 8, N, N }; matrix[3] = new int[] { N, 9, N, N, N, 4, N }; matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, N, 5, 4 }; matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, N, 6 }; matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, N }; // 创建 Graph对象 Graph graph = new Graph(vertex, matrix); // 测试 //graph.showGraph(); // 测试迪杰斯特拉算法 graph.dsj(2); graph.showDijkstra(); }}class Graph { private char[] vertex; // 顶点数组 private int[][] matrix; // 邻接矩阵 private VisitedVertex vv; // 已经访问的顶点的集合 // 构造器 public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) { this.vertex = vertex; this.matrix = matrix; } // 显示结果 public void showDijkstra() { vv.show(); } // 显示图 public void showGraph() { for (int[] link : matrix) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } // 迪杰斯特拉算法实现 /** * @param index * 表示出发顶点对应的下标 */ public void dsj(int index) { vv = new VisitedVertex(vertex.length, index); update(index);// 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点 for (int j = 1; j < vertex.length; j++) { index = vv.updateArr();// 选择并返回新的访问顶点 update(index); // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点 } } // 更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点 private void update(int index) { int len = 0; // 根据遍历我们的邻接矩阵的 matrix[index]行 for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) { // len 含义是 : 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和 len = vv.getDis(index) + matrix[index][j]; // 如果j顶点没有被访问过，并且 len 小于出发顶点到j顶点的距离，就需要更新 if (!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) { vv.updatePre(j, index); // 更新j顶点的前驱为index顶点 vv.updateDis(j, len); // 更新出发顶点到j顶点的距离 } } }}// 已访问顶点集合class VisitedVertex { // 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过,0未访问,会动态更新 public int[] already_arr; // 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新 public int[] pre_visited; // 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dis public int[] dis; // 构造器 /** * @param length * :表示顶点的个数 * @param index * : 出发顶点对应的下标, 比如G顶点，下标就是6 */ public VisitedVertex(int length, int index) { this.already_arr = new int[length]; this.pre_visited = new int[length]; this.dis = new int[length]; // 初始化 dis数组 Arrays.fill(dis, 65535); this.already_arr[index] = 1; // 设置出发顶点被访问过 this.dis[index] = 0;// 设置出发顶点的访问距离为0 } /** * 功能: 判断index顶点是否被访问过 * @param index * @return 如果访问过，就返回true, 否则访问false */ public boolean in(int index) { return already_arr[index] == 1; } /** * 功能: 更新出发顶点到index顶点的距离 * * @param index * @param len */ public void updateDis(int index, int len) { dis[index] = len; } /** * 功能: 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点 * * @param pre * @param index */ public void updatePre(int pre, int index) { pre_visited[pre] = index; } /** * 功能:返回出发顶点到index顶点的距离 * @param index */ public int getDis(int index) { return dis[index]; } /** * 继续选择并返回新的访问顶点 * @return */ public int updateArr() { int min = 65535, index = 0; for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) { if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) { min = dis[i]; index = i; } } // 更新 index 顶点被访问过 already_arr[index] = 1; return index; } // 显示最后的结果 public void show() { /* // 输出already_arr for (int i : already_arr) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); // 输出pre_visited for (int i : pre_visited) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); // 输出dis for (int i : dis) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); */ // 为了方便看最后的最短距离： char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; int count = 0; for (int i : dis) { if (i != 65535) { System.out.print(vertex[count] + "(" + i + ") "); } else { System.out.println("N "); } count++; } System.out.println(); }} 弗洛伊德(Floyd)算法
弗洛伊德(Floyd)算法介绍
- 和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。
- 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
- 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
- 弗洛伊德算法 和 迪杰斯特拉算法 的比较：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。
应用-最短路径
- 某乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
- 问：如何计算出各村庄到 其它各村庄的最短距离?
思路分析：
- 设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik，顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj，顶点vi到vj的路径为Lij，则vi到vj的最短路径为：min((Lik+Lkj),Lij)，vk的取值为图中所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径
- 至于vi到vk的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj，是以同样的方式获得
首先，距离表中只记录和某顶点相邻顶点之间的边。自己与自己就是0，暂时不相邻的为N。
第一轮循环中，以A(下标为：0)作为中间顶点。 将A作为中间顶点情况有
- C-A-G [9]
- C-A-B [12]
- G-A-B [7]
把A作为中间顶点的所有情况都进行遍历, 就可以用来更新距离表。当然要和之前距离表本来就存在的距离比较，看是否需要更新。
距离表更新为：
之后的循环和上面一样。将所有点作为过一次中间顶点，即可完成距离表。 完整代码
package com.guigu.floyd;import java.util.Arrays;public class FloydAlgorithm { public static void main(String[] args) { char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; // 创建邻接矩阵 int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length]; final int N = 65535; matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 }; matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 }; matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N }; matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N }; matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 }; matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 }; matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 }; // 创建 Graph 对象 Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex); // 调用弗洛伊德算法 graph.floyd(); graph.show(); }}// 创建图class Graph { private char[] vertex; // 存放顶点的数组 private int[][] dis; // 保存，从各个顶点出发到其它顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组 private int[][] pre;// 保存到达目标顶点的前驱顶点 // 构造器 /** * @param length * 大小 * @param matrix * 邻接矩阵 * @param vertex * 顶点数组 */ public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) { this.vertex = vertex; this.dis = matrix; this.pre = new int[length][length]; // 对pre数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标 for (int i = 0; i < length; i++) { Arrays.fill(pre[i], i); } } public void show() { // 为了显示便于阅读： for (int k = 0; k < dis.length; k++) { /* // 先将pre数组输出的一行 for (int i = 0; i < dis.length; i++) { System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " "); } System.out.println(); */ // 输出dis数组的一行数据 for (int i = 0; i < dis.length; i++) { System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "的最短路径是" + dis[k][i] + ") "); } System.out.println(); System.out.println(); } } // 弗洛伊德算法 public void floyd() { int len = 0; // 变量保存距离 // 对中间顶点遍历， k 就是中间顶点的下标 for (int k = 0; k < dis.length; k++) { // 从i顶点开始出发 for (int i = 0; i < dis.length; i++) { // 到达j顶点 for (int j = 0; j < dis.length; j++) { // 求出从i 顶点出发，经过 k中间顶点，到达 j顶点距离 len = dis[i][k] + dis[k][j]; if (len < dis[i][j]) { // 如果len小于 dis[i][j] dis[i][j] = len;// 更新距离 pre[i][j] = pre[k][j];// 更新前驱顶点 } } } } }} 马踏棋盘算法
马踏棋盘算法介绍和游戏演示
- 马踏棋盘算法也被称为骑士周游问题
- 将马随机放在国际象棋的8×8棋盘Board[0～7][0～7]的某个方格中，马按走棋规则(马走日字)进行移动。要求每个方格只进入一次，走遍棋盘上全部64个方格
- 游戏演示: http://www.4399.com/flash/146267_2.htm
马踏棋盘游戏代码实现
- 马踏棋盘问题(骑士周游问题)实际上是图的深度优先搜索(DFS)的应用。
- 如果使用回溯（就是深度优先搜索）来解决，假如马儿踏了53个点，如图：走到了第53个，坐标（1,0），发现已经走到尽头，没办法，那就只能回退了，查看其他的路径，就在棋盘上不停的回溯……
- 除此以外，还可以使用贪心算法进行优化。
骑士周游问题的解决步骤和思路
- 创建棋盘 chessBoard , 是一个二维数组
- 将当前位置设置为已经访问，然后根据当前位置，计算马儿还能走哪些位置，并放入到一个集合中(ArrayList), 最多有8个位置， 每走一步，就使用step+1
- 遍历ArrayList中存放的所有位置，看看哪个可以走通 , 如果走通，就继续，走不通，就回溯.
- 判断马儿是否完成了任务，使用step 和应该走的步数比较 ， 如果没有达到数量，则表示没有完成任务。 注意：马儿不同的走法（策略），会得到不同的结果，效率也会有影响(优化)
使用贪心算法对原来的算法优化
- 我们获取当前位置，可以走的下一个位置的集合 ArrayList ps = next(new Point(column, row));
- 我们需要对 ps 中所有的Point 的下一步的所有集合的数目，进行非递减排序,就ok ,
完整代码
import java.awt.Point;import java.util.ArrayList;import java.util.Collections;import java.util.Comparator;public class HorseChessboard { private static int X; // 棋盘的列数 private static int Y; // 棋盘的行数 // 创建一个数组，标记棋盘的各个位置是否被访问过 private static boolean visited[]; // 使用一个属性，标记是否棋盘的所有位置都被访问 private static boolean finished; // 如果为true,表示成功 public static void main(String[] args) { System.out.println("骑士周游算法，开始运行~~"); // 测试骑士周游算法是否正确 X = 8; Y = 8; int row = 1; // 马儿初始位置的行，从1开始编号 int column = 1; // 马儿初始位置的列，从1开始编号 // 创建棋盘 int[][] chessboard = new int[X][Y]; visited = new boolean[X * Y];// 初始值都是false // 测试一下耗时 long start = System.currentTimeMillis(); traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1); long end = System.currentTimeMillis(); System.out.println("共耗时: " + (end - start) + " 毫秒"); // 输出棋盘的最后情况 for (int[] rows : chessboard) { for (int step : rows) { System.out.print(step + "\t"); } System.out.println(); } } /** * 完成骑士周游问题的算法 * * @param chessboard * 棋盘 * @param row * 马儿当前的位置的行 从0开始 * @param column * 马儿当前的位置的列 从0开始 * @param step * 是第几步 ,初始位置就是第1步 */ public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) { chessboard[row][column] = step; visited[row * X + column] = true; // 标记该位置已经访问 // 获取当前位置可以走的下一个位置的集合 ArrayList ps = next(new Point(column, row)); // 对ps进行排序,排序的规则就是对ps的所有的Point对象的下一步的位置的数目，进行非递减排序 sort(ps); // 遍历 ps while (!ps.isEmpty()) { Point p = ps.remove(0);// 取出下一个可以走的位置 // 判断该点是否已经访问过 if (!visited[p.y * X + p.x]) { // 说明还没有访问过 traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1); } } // 判断马儿是否完成了任务，使用 step 和应该走的步数比较 ， // 如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将整个棋盘置0 // 说明: step < X * Y 成立的情况有两种 // 1. 棋盘到目前位置,仍然没有走完 // 2. 棋盘处于一个回溯过程 if (step < X * Y && !finished) { chessboard[row][column] = 0; visited[row * X + column] = false; } else { finished = true; } } /** * 功能： 根据当前位置(Point对象)，计算马儿还能走哪些位置(Point)，并放入到一个集合中(ArrayList), 最多有8个位置 * @param curPoint * @return */ public static ArrayList next(Point curPoint) { // 创建一个ArrayList ArrayList ps = new ArrayList (); // 创建一个Point Point p1 = new Point(); // 表示马儿可以走5这个位置 if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) { ps.add(new Point(p1)); } // 判断马儿可以走6这个位置 if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) { ps.add(new Point(p1)); } // 判断马儿可以走7这个位置 if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) { ps.add(new Point(p1)); } // 判断马儿可以走0这个位置 if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) { ps.add(new Point(p1)); } // 判断马儿可以走1这个位置 if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) { ps.add(new Point(p1)); } // 判断马儿可以走2这个位置 if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) { ps.add(new Point(p1)); } // 判断马儿可以走3这个位置 if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) { ps.add(new Point(p1)); } // 判断马儿可以走4这个位置 if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) { ps.add(new Point(p1)); } return ps; } // 根据当前这个一步的所有的下一步的选择位置，进行非递减排序, 减少回溯的次数 public static void sort(ArrayList ps) { Collections.sort(ps, new Comparator () { @Override public int compare(Point o1, Point o2) { // TODO Auto-generated method stub // 获取到o1的下一步的所有位置个数 int count1 = next(o1).size(); // 获取到o2的下一步的所有位置个数 int count2 = next(o2).size(); if (count1 < count2) { return -1; } else if (count1 == count2) { return 0; } else { return 1; } } }); }} 转载地址：http://rayki.baihongyu.com/
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